Лекція з математики №4 Подільність -1 - nadoest.com ))
Головна
Пошук за ключовими словами:
сторінка 1
Схожі роботи
Лекція з математики №4 Подільність -1 - сторінка №1/1
Віртуальна школа
9 клас
Лекція з математики № 4
Подільність -1

Автори: Заболотна Тетяна Іванівна, вчитель математики ДНВК №114,


Топоровська Тетяна Валентинівна, вчитель математики ДНВК №114.

Для того, щоб успішно розв'язувати задачі на подільність, необхідно згадати, користуючись підручником, які числа називаються простими і складеними, що таке НСД, НСК, а також ознаки та властивості подільності. До того ж мова йтиме про натуральні числа.

Нагадаємо, що число1 – не просте і не складене, число 2 – єдине парне просте число.

Крім відомих вам ознак подільності на 2,3,5,9,10 ви, можливо, знаєте ознаки подільності...

на 4: а) число ділиться на 4 тоді и тільки тоді, коли число, що виражене його двома останніми цифрами, ділиться на 4;

б) число ділиться на 4 тоді и тільки тоді, коли сума цифри одиниць та удвоєної цифри десятків ділиться на 4;

на 8: а) число ділиться на 8 тоді и тільки тоді, коли число, що виражене його тьома останніми цифрами, ділиться на 8;

б) число ділиться на 8 тоді и тільки тоді, коли сума цифри одиниць, удвоєної цифри десятків та цифри сотень, помноженої на чотири, ділиться на 8;

на 25: а) число ділиться на 25 тоді и тільки тоді, коли число, що виражене його двома останніми цифрами, ділиться на 25;

Деякі ознаки ви можете додумати самі. Наприклад, на 6 поділиться число, яке ділиться на 2 і на 3 . Чому?

Попробуйте самостійно сформулювати ознаки подільності на 12, на 15, на 75.

Дільники і кратні

Основна теорема математики стверджує, що кожне натуральне число, за винятком одиниці, розкладається на добуток простих множників, причому, єдиним чином.

Два числа називаються взаємно простими, якщо у них немає спільних дільників, відмінних від одиниці.

Справедливі такі твердження.
1. Якщо числа a і b діляться на c, то і їх сума a + b та різниця a - b ділиться на с.

2. Якщо число a ділиться на с, а число b ділиться на d, то добуток ab ділиться на сd.

3. Якщо деяке число a ділиться на два взаємно простих числа n і m, то число а ділиться на добуток nm.

4. Якщо деяке число ka ділиться на m, де k і m взаємно прості числа, то а ділиться на m.

Ці властивості можна застосувати при розв'язуванні наступної задачі.

Приклад 1. Докажіть, що якщо добуток ab ділиться на с і сума a+b ділиться на с, то a2+b2 ділиться на с.

Розв'язок. Суму квадратів a2+b2 можна записати у вигляді (a +b)2- 2ab.

Так як a+b ділиться на с, то a+b = kс, де k – ціле число. Аналогічно ab = mс.

Значить, a2+b2 = k2с2 - 2mс = с( k2с - 2m ). А це і значить, що a2+b2 ділиться на с.

Алгоритм Євкліда.


Алгоритм Євкліда - це спосіб знаходження НСД двох цілих чисел, двох многочленів або єдиної міри двох відрізків. Наприклад, потрібно знайти НОД чисел 1381955 і 690713. Розкладанням на прості множники можна, звичайно, знайти НОД, але, погодьтесь, це занадто трудоємке заняття.

Суть алгоритма:

Якщо маємо два числа a і b, причому a > b>0, то спочатку а ділимо на b і отримуємо остачу r1 (0 ≤ r1< b). Потім b ділимо r1 і знаходимо остачу r2 (0 ≤ r 2< r1). Далі r1 ділимо на r 2 і отримуємо остачу r 3 (0 ≤ r 32< r2), і т.д. Остання остача, відмінна від нуля, і буде дорівнювати НСД (a,b).

Розглянемо приведений приклад. Поділимо більше число на менше:

1381955 : 690713 = 2 (ост. 529)

НСД(1381955 ; 690713) = НСД ( 690713; 529) = НСД ( 529; 368) = НСД (368;161) =

= НСД (161;46) = НСД (46; 23) = НСД ( 23; 0) = 23.

Маємо 23 – остання остача, відмінна від нуля.

Прискорений алгоритм Євкліда: при a > b>0 НСД (a,b) = НСД (a, а-b) == НСД (a,а-kb). Пропоную самостійно перевірити наведений вище приклад за допомогою прискореного алгоритму.
Завдання для самостійного розв'язування.
72 горіхів і 48 яблук порівну розділили між учнями класу. Скільки учнів в класі, коли відомо, що їх більше 20?

Дано три послідовних натуральних числа, перше з них – парне. Докажіть, що добуток їх кратний 24.

Докажіть, що сума двох непарних послідовних чисел ділиться на 4 і всяке число, яке ділиться на 4, є сума двох непарних послідовних чисел.

Докажіть, що якщо а і а+b ділиться на с, то а3+b3 ділиться на с2.

Докажіть, що добуток любих п'яти послідовних чисел ділиться на 120

Докажіть, що при любому а число а5 -5а3 +4а ділиться на 120.

Було 7 листів паперу. Деякі з них розрізали на 7 кусків кожний. Потім деякі із отриманих кусків знову розрізали на 7 і так зробили кілька разів. Чи могли в результаті отримати 1983 куски? 2013 кусків?
Використана та рекомендована література.

В.Г. Коваленко, В.Я.Кривошеєв, Л.Я. Лемберський. Алгебра. Експериментальний навчальний посібник для 8 класу шкіл з поглибленим навчанням математики і спеціалізованих шкіл фізико-математичного профілю. Київ «Освіта», 1995.

Сборник материалов математических олимпиад. БАО Донецк, 2005.

І. Кушнір. Шедеври шкільної математики, том 1. Київ, «Астарта», 1995.



Глюза О.А.Делимость и остатки. Пособие для учащихся – Донецк: ДонНУ, 2006.

Лиманский В.В, Делимость и многочлены. Пособие для учащихся - Донецк: ДонНУ, 2001.